Der Quantencomputer (1)

 

Etwas Mathematik ist nötig, um zu verstehen, wie ein Quantencomputer funktionieren würde. Dann wird es sehr spannend, obwohl es noch nicht möglich ist, einen solchen Computer zu bauen, der tatsächlich in der Praxis eingesetzt werden kann.

Nun liest man aber allenthalben, dass die Verwendung von Mathematik – alleine schon die Angabe einer Formel – ausreicht, um die Leserzahl eines jeden Textes signifikant zu senken. Also bedeutet ein solcher Schritt auch in diesem Fall den Übertritt in einen einsamen, womöglich leblosen Ort, in welchem der menschliche Verstand dominiert, und Gefühle, Ahnungen, Unwägbarkeiten nichts mehr zu suchen haben.

Wir wagen es dennoch, und versuchen dabei, uns selbst und anderen unsere Menschlichkeit zu erhalten, so schwer das in der abstrakten Formelwelt der Mathematik auch sein mag.

In den Anfange setzen wir eine Meßreihe, also eine Folge von Zahlen \{a_{0} \dots a_{N-1}\}, die einer Messung entsprungen.

Dieser eine Satz genügt ja schon, und wir haben eine Unmenge von Voraussetzungen gemacht:

Eine Reihe von Zahlen …

Schaudernd wendet sich ab, wer mit solchen Sätzen in der Schule gequält worden ist. Und hat man ihm dort nicht sogar erklärt, was überhaupt Zahlen sind, und so weiter und so fort …

Aber das sind alles Erinnerungen an früher, die für uns heute nicht mehr zählen. Heute ist alles anders!

Wir wagen also einen Neuanfang. Wir legen die Zahlenreihe, mit der wir gerade begonnen haben, einfach wieder beiseite und fangen noch einmal mit unserem eigentlichen Thema an.

Wir wollten ja über den Quantencomputer reden. In diesem Gebiet könnten die oben erwähnte Zahlenreihe die Ergebnisse einer Messreihe sein, die an einem Quantensystem durchgeführt wird.

Damit wären wir schon beim wesentlichen Bestandteil eines Quantencomputers, dem Qubit. Denn ein Quantensystem könnte sich aus Qubits zusammen setzen.

Bei einem Qubit hat man nur zwei mögliche Messergebnisse, die wir getrost mit |0\rangle und |1\rangle bezeichnen dürfen. Gäbe es nicht mehr und Geheimnisvolleres, dann hätten wir hier eine Situation, die vergleichbar ist mit der, die wir in der klassischen Informatik mit den Bits haben. Für die Qubits bedeuten |0\rangle und |1\rangle aber nur, dass sich das Qubit im Augenblick der Messung im Zustand |0\rangle oder |1\rangle befindet. Es bedeutet keineswegs, dass es nicht auch noch andere Zustände gibt.

Die Beschreibung des Zustands eines Qubits kann also nicht nur über 0 und 1 erfolgen. Es geschieht ganz anders und in einer mathematischen Sprache, die sich nur dort festlegt, wo es empirisch zwingend ist. Das scheint zunächst verwunderlich, wo doch die Mathematik eher im Rufe steht, die klarste und unzweideutigste Sache der Welt zu sein. Wie also, sollte es möglich sein, ein “zweideutiges Unwesen” wie ein Qubit mathematisch zu erfassen?

Man redet bei diesen Zuständen anstatt von einem “zweideutigen Unwesen” von Superposition, und der Zustand eines Qubits wird über einen so genannten Zustandsvektor beschrieben. Zustandsvektoren sind Elemente eines Hilbertraumes – und spätestens mit diesem Begriff habe ich alle abgehängt, die keine Freude an und keine Kenntnis der Mathematik haben.

Aber es ist einfach eine Schande, solche Quanten-Hilberträume ganz den Mathematikern, den theoretischen Physikern und Informatikern zu überlassen. Letztlich geht es ja um Dinge, die der Welt entstammen, in der wir alle leben, auch wenn es sich in diesem Fall um Elementarteilchen handelt, die man im Alltag natürlich nicht direkt wahrnehmen kann. Aber es gibt genügend Beispiele dafür, dass dieser Bereich der Wissenschaft einen immensen Einfluss auf unser Leben hat: Man denke nur an die Atombombe, oder auch an das Atomkraftwerk. Beides wäre ja ohne die Erkenntnisse der Quantenphysik nicht möglich geworden.

Verharren wir also bei den Hilberträumen, die ein Spezialfall des Vektorraums sind: Was die Mathematiker Räume nennen, das ist oft nur eine Menge von Elementen, für die bestimmte Rechenregeln vorgegeben werden. Alles, was diesen Rechenregeln genügt, kann dann so bezeichnet werden. Die Rechenregeln sind allerdings oft sehr elementar, und obwohl sie dem ungeübten Verstand oft das Fürchten lehren, sind sie doch sehr hilfreich, denn sie vereinfachen den Umgang mit Phänomenen, die sich anders einfach nicht gut genug beschreiben lassen. Die Zustände eines Quantensystems sind ein gutes Beispiel dafür.

Kurz und gut: Wenn sich ein Qubit im Zustand |\Psi\rangle der Superposition befindet, dann lässt es sich durch eine einfache Gleichung beschreiben:


|\Psi\rangle = c_{0} |0\rangle + c_{1} |1\rangle

Dabei sind c_{0} und c_{1} komplexe Zahlen, und da |0\rangle und |1\rangle sind zusammen eine Basis des Hilbertraums. Das bedeutet nur, dass jedes Element \Psi des Hilbertraumes sich so zusammen setzen lässt. Das “+”-Zeichen ist dabei natürlich nicht die Addition in dem Sinne, in dem wir das als Kinder gleich nach dem Einmaleins gelernt haben, denn es bezieht sich auf den Hilbertraum. Dennoch reden wir von einer Addition, und meinen dabei eigentlich nur, dass die gleichen grundlegenden Rechenregeln gelten, die wir auch schon für die Addition in der Grundschule gelernt haben, auch im Hilbertraun angewendet werden können.

Die komplexen Zahlen c_{0} und c_{1} wiederum werden mit den Vektoren des Hilbertraums multipliziert, und hier gilt das eben für die Addition gesagte in ähnlicher Weise für die Multiplikation.

Wer weiß noch, was ein Skalarprodukt ist? Es ist nicht so wichtig, damit umgehen oder damit rechnen zu können. Wichtig in unserem Fall ist nur, dass über ein Skalarprodukt die Zustandsvektoren wieder auf “normale” (reelle) Zahlen zurück geführt werden. Jeweils zwei Zustandsvektoren werden auf eine reelle Zahl abgebildet. Ganz einfach! Man schreibt z.B. \langle 0|\Psi \rangle, um das Skalarprodukt zwischen |0\rangle und |\Psi\rangle zu bezeichnen.

Hier kommt nun die Messung ins Spiel, denn \langle 0|\Psi \rangle ist grade die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einer Messung des Systems im Zustand |\Psi\rangle der Wert 0 ergibt.

Außerdem normieren wir den Hilbertraum, denn wir legen fest, dass \langle \Psi|\Psi \rangle = 1 gilt. Das liegt einfach daran, dass wir für Wahrscheinlichkeiten immer Werte zwischen 0 und 1 vorliegen haben. Bei einem solchen binären System gibt es aber nur zwei Messwerte, also müssen diese beiden zusammen gezählt immer 1 ergeben, also 100 %-ige Wahrscheinlichkeit. Genau das bedeutet die Normierung des Hilbertraums.

So machen die Quantentheoretiker das also: Sie sagen uns über die Sprache der Mathematik keineswegs, was die Zustände eines Elementarteilchens eigentlich sind. Sie geben nur Zeichen und Begriffe dafür an, schreiben also |0\rangle und |1\rangle, reden von Hilberträumen und geben das Verhalten von dem, was sie experimentell beobachten, in Form von Rechenregeln an. Das ist alles. Und es ist nicht besonders viel.

Wir normal Sterblichen können nur anerkennen, dass unser im täglichen Leben geschultes Vorstellungsvermögen nicht ausreicht, uns ein Bild vom Allerkleinsten zu machen. Solche Bilder kann es offenbar nicht geben, und die abstrakte Welt der Mathematik scheint deshalb das Einzige zu sein, was uns bleibt, um in diese Räume vorzudringen. Das ist nicht besonders viel!

Was |0\rangle und |1\rangle letztlich ist, was es also bedeutet, ein Qubit zu sein, darüber legt sich nach wie vor ein Schleier, den auch die Mathematik nicht folgen kann. Dennoch wollen wir deren Spuren ein wenig weiter folgen, in der Hoffnung, vielleicht doch etwas tiefer in diese geheimnisvolle Welt vorzudringen …

(Fortsetzung folgt)

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